jeudi 23 juin 2016

la bouteille de Klein


Cela faisait un moment que je cherchais les bonnes formules pour dessiner la représentation usuelle d'une bouteille de Klein  obtenue par recollement non-trivial des  bords d'un cylindre . J'ai fini par y arriver (non sans mal) mais les formules utilisées  gardent encore une part de mystère :


jeudi 19 mai 2016

chapelet de Mercure devant le soleil

Il y a une semaine  j'ai pu observer  mon deuxième transit de Mercure devant le soleil (après celui du 07/05/2003) c’était l'occasion de ressortir mon matériel d'observation et de tenter quelques  photos. 

mercredi 20 avril 2016

Transit de Mercure du 9 Mai 2016 un événement exceptionnel ... ou pas!

Le 9 mai prochain prochain se produira un événement astronomique assez rare et pas facile à observer mais qui intéressera tout ceux qui veulent prendre conscience  de la mécanique complexe du système solaire : La trajectoire apparente de la planète Mercure passera pendant quelques heures devant la surface du soleil. On parle alors de Transit de Mercure devant le Soleil . Je n'en ai vu qu'un seul  dans ma vie, en Mai 2003,  photographié (en argentique!)  ci-dessous:

Transit de Mercure devant le soleil  du 07/05/03
Pour ceux qui ne comprennent rien à l'image  Mercure est l'insignifiant petit point noir en haut à gauche du disque solaire, il passerait facilement inaperçu comparé à la tâche solaire  au centre de l'image. Même si ce phénomène est accessible et  intéressant pour l'astronome amateur, les médias vous en parlerons le jour ou la veille avec les habituels qualificatifs "exceptionnel" ,"historique" , "à ne pas manquer" mais qu'en est il vraiment   ? Quelques clés pour comprendre.

samedi 19 mars 2016

Quelques formules utiles d'analyse de Fourier

Tout cours d'analyse de Fourier contient de nombreuses formules compliquées mêlant intégrales, TF, convolution, exponentielles ...  il est souvent difficile de s'y retrouver car ces formules ne représentent pas grand chose de concret pour le néophyte. Personnellement j'ai toujours eu besoin d'associer chaque formule  à une expérience, une figure,  un schéma pour me les approprier. Avec les outils numériques d'aujourd'hui ce type d'illustration est beaucoup plus facile à réaliser qu'il y a une vingtaine d'année, en particulier on peut utiliser la dimension "temporelle"  pour rendre ces formules plus vivantes. Vous trouverez ici quelques animations (réalisées avec scilab) que j'utilise pour illustrer mon cours d'analyse de Fourier .
modulation d'amplitude et densité spectrale d'un signal

mercredi 2 mars 2016

La formule de Stirling

Quand on me demande ce qui m'a donné envie de faire des mathématiques il me vient toujours  deux formules à l'esprit : la série $\sum_{k\geq 1}{1\over k^2}={\pi^2\over 6}$ (question aussi appelée "problème de Bâle") et la formule de Stirling:
$$n!=1\times 2\times \dots\times n\sim_\infty \left({n\over e}\right)^n\sqrt{2\pi n}
\Leftrightarrow
\lim_{n\to\infty} {n!\over \left({n\over e}\right)^n\sqrt{2\pi n}}=1$$
le fait qu'un objet  défini uniquement à partir de nombres entiers puisse conduire à une formule contenant $\pi$ (et même combinant $e,\pi$ et $\sqrt{~}$ dans le cas de $n!$)  m'a tout de suite fasciné, et en rentrant à l'université  je voulais absolument comprendre "la" démonstration  de telles curiosités mathématiques. Vingt-cinq ans après je suis toujours impressionné de la richesse de ces deux problèmes, l'étude de leurs démonstrations conduit toujours à l'introduction de méthodes  mathématiques fondamentales que je décris souvent sur ce blog. Laissez moi vous en donner un petit aperçu dans le cas de formule de Stirling.

dimanche 14 février 2016

calcul de eta(1/2)

On retrouve souvent  dans les articles de vulgarisation mathématique les questions relatives  au calcul de la "somme"
$$1+2+3+\dots+n+... = -{1\over 12} $$
ces articles de vulgarisation mentionnent parfois que le résultat $-{1\over 12}$ correspond en fait à la valeur de $\zeta(-1)$  mais ils n'abordent pas en général  la théorie qui justifie ce résultats,  qui repose sur le prolongement analytique de la fonction $\zeta(x)$ de Riemann. Dans mon billet précédent  j'ai montré que quand $0<x<1$ ce prolongement  correspondait au  terme constant du développement asymptotique de la série de Riemann d'exposant $x$ , soit dans le cas $x=1/2$ :
$$\sum_{k=1}^n{1\over k^{1/2}}=\sum_{k=1}^n{1\over \sqrt{k}}=
2\sqrt{n}+\zeta(1/2)+{\mathcal O}\left({1\over \sqrt{n}}\right)$$
Cette  définition  d'apparence bien compliquée permet de tenter le calcul  d'une valeur approchée  de $\zeta(1/2)$ avec un maximum de décimales  :


Cet exercice  est un petit concentré de techniques simples mais terriblement  efficaces dans l'étude des séries numériques : combinaisons de séries convergentes, utilisation de séries télescopiques, accélération de la convergence, équivalents séries/intégrales, expressions conjuguée de radicaux ...

vendredi 29 janvier 2016

Prolongement analytique de la fonction zeta

La fonction Zeta de Riemann $\zeta(x)$ est un des objets mathématiques les plus intéressant, car elle intervient naturellement aussi bien  en analyse qu'en théorie des nombres. Classiquement elle est définie par la valeur de la  série de Riemann  pour l'exposant $x$ quand celle-ci est convergente soit :
$$\zeta(x)=\sum_{k=1}^\infty {1\over k^x},~~~~\forall x,~~\Re(x)>1$$
Cependant en utilisant la théorie des fonctions analytiques, la  fonction  $\zeta$ peut être prolongée  à tout ${\mathbb C}\setminus\{1\}$. En particulier on peut la définir dans la bande $0<\Re(x)<1$, très importante en théorie des nombres, par le développement asymptotique suivant quand $n\to\infty$ :
$$\sum_{k=1}^n{1\over k^x}={n^{1-x}\over 1-x}+\zeta(x)+{\mathcal O}\left({1\over n^x}\right),~~~ \forall x\neq1,~~\Re(x)>0$$

le graphe de la fonction Zeta de Riemann obtenu avec le logiciel SAGE

mardi 12 janvier 2016

convergence vs divergence d'une série



Décider de la convergence ou de la divergence d'une série est un exercice classique d'analyse. Il  existe une multitude de critères différents pour répondre à cette question, individuellement chaque critère est assez simple à utiliser quand on le teste sur les séries adaptées, mais dans la pratique face à une série quelconque il est facile de s'y perdre. Pour s'en sortir il faut  bien comprendre  l'ordre dans lequel  considérer chaque critère. Étudiant  c'est en visualisant les liens entre ces critères sous forme d'un diagramme que j'ai vraiment réussi à    les retenir et à les comprendre. En guise d'exercice de rentrée j'ai essayé de reconstituer avec LaTeX/pstricks ce "flow chart" stocké dans ma mémoire , voilà le résultat :

"flow chart" pour la convergence/divergence d'une série

samedi 21 novembre 2015

consistance vs stabilité d'un schéma numérique

L'analyse numérique  fait aujourd'hui partie intégrante des mathématiques, on l'enseigne dans de nombreux cursus, mais elle a mis du temps à s'imposer comme une domaine des mathématiques à part entière. Beaucoup ont considéré au début que les problèmes étudiés étaient trop appliqués pour permettre de dégager des concepts fondamentaux et de développer une approche suffisamment rigoureuse  pour faire partie des mathématiques. Lorsque j'étais étudiant  malgré des cours très complets sur le sujet  je ne me suis pas vraiment intéressé à l'analyse numérique car les concepts de base  m'en avaient échappé. Je n'ai commencé à m'intéresser à ce domaine  qu'en commençant à enseigner en DUT informatique  puis en cursus d'ingénieur , que je me suis rendu compte à quel point j’étais passé à côté de choses très intéressantes. J'aimerai  partager ici avec vous les quelques exemples  qui m'ont fait changer d'avis.

l'instabilité  du schéma explicite pour l'équation de Transport 1D  l'emporte  sur l'erreur  de consistance (écart entre les courbes rouges et bleu) à partir de t>1

jeudi 22 octobre 2015

anneaux des germes de fonctions

C'est un sujet que je n'ai jamais eu l'occasion d'aborder pendant mes études de mathématiques, et c'est bien dommage car les ensembles de fonctions ou d'applications  ont des structures  algébriques  souvent intéressantes et qui permettent de varier les exemples de groupes, anneaux, algèbres et autres espaces vectoriel.  Voici une petites compilation de faits simples sur les anneaux de fonctions et de germes, découverts  aux détours d'une conversation avec un collègue twitto ...