mardi 29 novembre 2016

le stade de Bunimovich et autres billards

mon dernier billet   sur le  billard de Sinaï m'a donné l'envie de continuer mon exploration de ce domaine, par exemple avec le stade de Bunimovich .  

le stade de Bunimovich

mercredi 12 octobre 2016

billard de Sinaï

    Le mathématicien Français Jean-Christophe Yoccoz est décédé le 3 septembre 2016. C'était un spécialiste des systèmes dynamiques et il avait reçu la médaille Fields en 1994  pour ses travaux sur le sujet. Ce domaine de recherche est assez jeune puisqu'on considère  que c'est Henri Poincaré qui a ouvert la voie avec ses travaux sur le problème des trois corps, mais il englobe beaucoup d'autres exemples comme celui des billards. Dans la version la plus simple  un billard est juste un domaine compact du plan (par exemple un polygone) contenant éventuellement des obstacles dans lequel se déplace une particule  animée d'un mouvement uniforme et rebondissant sur les bords . Un des exemples les plus célèbre est le billard de Sinaï  qui modélise  le comportement d'un gaz  parfait et permet de mettre en évidence  les propriétés des billards dispersifs :

      une trajectoire dans un billard de Sinaï

      lundi 5 septembre 2016

      premiers pas avec Xcos

      Dans le monde de l’ingénierie Matlab est  considéré comme un outil incontournable entre autre par ce qu'il intègre un outil de modélisation de systèmes complexes appelé Simulink. Ce type de logiciel permet, par exemple, de créer virtuellement  un circuit électronique en assemblant  sur un diagramme des composants de base (résistances, diodes, transistors, voltmètres oscilloscopes  ... tous appelés "blocs" )   pour ensuite simuler son  fonctionnement . Scilab possède lui aussi son éditeur de Blocs-Diagrammes,   nommé XCOS, qui permet de simuler  toute sorte de circuits et de faire ses premiers pas en électronique.


      jeudi 23 juin 2016

      la bouteille de Klein


      Cela faisait un moment que je cherchais les bonnes formules pour dessiner la représentation usuelle d'une bouteille de Klein  obtenue par recollement non-trivial des  bords d'un cylindre . J'ai fini par y arriver (non sans mal) mais les formules utilisées  gardent encore une part de mystère :


      jeudi 19 mai 2016

      chapelet de Mercure devant le soleil

      Il y a une semaine  j'ai pu observer  mon deuxième transit de Mercure devant le soleil (après celui du 07/05/2003) c’était l'occasion de ressortir mon matériel d'observation et de tenter quelques  photos. 

      mercredi 20 avril 2016

      Transit de Mercure du 9 Mai 2016 un événement exceptionnel ... ou pas!

      Le 9 mai prochain prochain se produira un événement astronomique assez rare et pas facile à observer mais qui intéressera tout ceux qui veulent prendre conscience  de la mécanique complexe du système solaire : La trajectoire apparente de la planète Mercure passera pendant quelques heures devant la surface du soleil. On parle alors de Transit de Mercure devant le Soleil . Je n'en ai vu qu'un seul  dans ma vie, en Mai 2003,  photographié (en argentique!)  ci-dessous:

      Transit de Mercure devant le soleil  du 07/05/03
      Pour ceux qui ne comprennent rien à l'image  Mercure est l'insignifiant petit point noir en haut à gauche du disque solaire, il passerait facilement inaperçu comparé à la tâche solaire  au centre de l'image. Même si ce phénomène est accessible et  intéressant pour l'astronome amateur, les médias vous en parlerons le jour ou la veille avec les habituels qualificatifs "exceptionnel" ,"historique" , "à ne pas manquer" mais qu'en est il vraiment   ? Quelques clés pour comprendre.

      samedi 19 mars 2016

      Quelques formules utiles d'analyse de Fourier

      Tout cours d'analyse de Fourier contient de nombreuses formules compliquées mêlant intégrales, TF, convolution, exponentielles ...  il est souvent difficile de s'y retrouver car ces formules ne représentent pas grand chose de concret pour le néophyte. Personnellement j'ai toujours eu besoin d'associer chaque formule  à une expérience, une figure,  un schéma pour me les approprier. Avec les outils numériques d'aujourd'hui ce type d'illustration est beaucoup plus facile à réaliser qu'il y a une vingtaine d'année, en particulier on peut utiliser la dimension "temporelle"  pour rendre ces formules plus vivantes. Vous trouverez ici quelques animations (réalisées avec scilab) que j'utilise pour illustrer mon cours d'analyse de Fourier .
      modulation d'amplitude et densité spectrale d'un signal

      mercredi 2 mars 2016

      La formule de Stirling

      Quand on me demande ce qui m'a donné envie de faire des mathématiques il me vient toujours  deux formules à l'esprit : la série $\sum_{k\geq 1}{1\over k^2}={\pi^2\over 6}$ (question aussi appelée "problème de Bâle") et la formule de Stirling:
      $$n!=1\times 2\times \dots\times n\sim_\infty \left({n\over e}\right)^n\sqrt{2\pi n}
      \Leftrightarrow
      \lim_{n\to\infty} {n!\over \left({n\over e}\right)^n\sqrt{2\pi n}}=1$$
      le fait qu'un objet  défini uniquement à partir de nombres entiers puisse conduire à une formule contenant $\pi$ (et même combinant $e,\pi$ et $\sqrt{~}$ dans le cas de $n!$)  m'a tout de suite fasciné, et en rentrant à l'université  je voulais absolument comprendre "la" démonstration  de telles curiosités mathématiques. Vingt-cinq ans après je suis toujours impressionné de la richesse de ces deux problèmes, l'étude de leurs démonstrations conduit toujours à l'introduction de méthodes  mathématiques fondamentales que je décris souvent sur ce blog. Laissez moi vous en donner un petit aperçu dans le cas de formule de Stirling.

      dimanche 14 février 2016

      calcul de eta(1/2)

      On retrouve souvent  dans les articles de vulgarisation mathématique les questions relatives  au calcul de la "somme"
      $$1+2+3+\dots+n+... = -{1\over 12} $$
      ces articles de vulgarisation mentionnent parfois que le résultat $-{1\over 12}$ correspond en fait à la valeur de $\zeta(-1)$  mais ils n'abordent pas en général  la théorie qui justifie ce résultats,  qui repose sur le prolongement analytique de la fonction $\zeta(x)$ de Riemann. Dans mon billet précédent  j'ai montré que quand $0<x<1$ ce prolongement  correspondait au  terme constant du développement asymptotique de la série de Riemann d'exposant $x$ , soit dans le cas $x=1/2$ :
      $$\sum_{k=1}^n{1\over k^{1/2}}=\sum_{k=1}^n{1\over \sqrt{k}}=
      2\sqrt{n}+\zeta(1/2)+{\mathcal O}\left({1\over \sqrt{n}}\right)$$
      Cette  définition  d'apparence bien compliquée permet de tenter le calcul  d'une valeur approchée  de $\zeta(1/2)$ avec un maximum de décimales  :


      Cet exercice  est un petit concentré de techniques simples mais terriblement  efficaces dans l'étude des séries numériques : combinaisons de séries convergentes, utilisation de séries télescopiques, accélération de la convergence, équivalents séries/intégrales, expressions conjuguée de radicaux ...

      vendredi 29 janvier 2016

      Prolongement analytique de la fonction zeta

      La fonction Zeta de Riemann $\zeta(x)$ est un des objets mathématiques les plus intéressant, car elle intervient naturellement aussi bien  en analyse qu'en théorie des nombres. Classiquement elle est définie par la valeur de la  série de Riemann  pour l'exposant $x$ quand celle-ci est convergente soit :
      $$\zeta(x)=\sum_{k=1}^\infty {1\over k^x},~~~~\forall x,~~\Re(x)>1$$
      Cependant en utilisant la théorie des fonctions analytiques, la  fonction  $\zeta$ peut être prolongée  à tout ${\mathbb C}\setminus\{1\}$. En particulier on peut la définir dans la bande $0<\Re(x)<1$, très importante en théorie des nombres, par le développement asymptotique suivant quand $n\to\infty$ :
      $$\sum_{k=1}^n{1\over k^x}={n^{1-x}\over 1-x}+\zeta(x)+{\mathcal O}\left({1\over n^x}\right),~~~ \forall x\neq1,~~\Re(x)>0$$

      le graphe de la fonction Zeta de Riemann obtenu avec le logiciel SAGE