Transformée de Fourier du Peigne de Dirac

Parmi les distributions dont il faut connaître la transformée de Fourier (TF) figure  le peigne de Dirac (souvent noté avec le caractère cyrillique "sha"  Ш   * ) :

$ \displaystyle \unicode{x0428}_\alpha=\sum_{n\in{\mathbb Z}} \delta_{n\alpha}$ a pour TF :  $ \displaystyle \widehat{\unicode{x0428}_\alpha}={{2\pi}\over \alpha} \unicode{x0428}_{2\pi\over\alpha}$ 

 

 

 

Le calcul de la TF de cette distribution donne souvent lieu à des démonstrations compliquées et pas très rigoureuses ... y compris sur la page de wikipédia ! En cherchant un peu sur le net on trouve pas mal de démonstrations à base de "séries de Fourier"  (puisque Ш  est une distribution périodique!)  faisant donc intervenir des intégrales n'ayant aucun sens du genre :
$$ c_n(\unicode{x0428}_\alpha)=\sum_{n\in{\mathbb Z}} {1\over \alpha}\int_0^\alpha e^{-ixn}\delta_{n\alpha}(x) dx ={1\over \alpha}$$
La démonstration n'est pourtant pas compliquée si on connait la formule sommatoire de Poisson. En effet, si on applique à la lettre  la définition de la TFon obtient :
$$< \widehat{\unicode{x0428}_\alpha},\phi>
= < \unicode{x0428}_\alpha,\widehat{\phi}>
= <\sum_{n\in{\mathbb Z}} \delta_{n\alpha},\widehat{\phi}>
= \sum_{n\in{\mathbb Z}}\widehat{\phi}(n\alpha)$$
mais en appliquant la formule sommatoire de Poisson à la fonction $\varphi(x)=\phi({x\over\alpha})$ et dont la TF est $\widehat{\varphi}(\xi)={\alpha}\widehat{\phi}(\xi\alpha )$ on récupère que 
$$< \widehat{\unicode{x0428}_\alpha},\phi>
=  \sum_{n\in{\mathbb Z}}\widehat{\phi}(n\alpha)
=  \sum_{n\in{\mathbb Z}}{1\over\alpha}\widehat{\varphi}(n)
=  \sum_{n\in{\mathbb Z}}{{2\pi}\over \alpha}{\varphi}(2\pi n)
=  \sum_{n\in{\mathbb Z}}{{2\pi}\over \alpha}{\phi}\left({2\pi n\over\alpha}\right) 
={{2\pi}\over \alpha} <\unicode{x0428}_{2\pi\over\alpha},\phi>$$
d'où le résultat! Au passage si on choisit $\alpha=\sqrt{2\pi}$ tel que ${2\pi\over\alpha}=\alpha$  on obtient que :
$$\widehat{\unicode{x0428}}_\sqrt{2\pi}=   \sqrt{2\pi} \unicode{x0428}_\sqrt{2\pi}$$
comme pour la fonction Gaussienne ou la distribution régulière $1\over \sqrt{|x|}$ .

* Le caractère sha est numéroté  1064 ou 1096 en unicode, donc peut s'écrire  Ш en HTML ou \unicode{x0428}  en LaTeX.