convolution et approximation de l'unité

Une des difficultés de la convolution des fonctions est qu'elle ne possède pas d'élément neutre  au sens des fonctions. On ne dispose que d'approximations de l'unité  (appelées aussi  suites régularisantes  ou identités approchées) définies comme suit :

Théorème (approximation de l'unité) Soit $\varphi_n$ une suite de fonction ${\mathbb L}^1({\mathbb R})$ telle que :

• $ \varphi_n(t)\geq 0~~\forall t\in {\mathbb R}$
• $\int_{\vert t\vert\leq \delta}\varphi_n(t)dt\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} 1$
• $\forall \delta>0,~~\int_{\vert t\vert>\delta}\varphi_n(t)dt\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} 0$ 

alors  pour tout $f\in C^0({\mathbb R})$ et $x\in {\mathbb R}$  on a que :
$$ f*\varphi_n(x)= \int_{\mathbb R} f(x-t) \varphi_n(t) dt \mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} f(x)$$

 Ces suites de fonctions sont une manière simple d'aborder la notion de distribution de Dirac, c'est d'ailleurs en présentant leur graphes en fonction de n que cette notion est introduite dans les cours plutôt orientés vers la physique :

L'idée de base pour prouver le théorème est qu'on peut écrire :$$f(x)=f(x) \underbrace{\int_{\mathbb R}  \varphi_n(t) dt}_{=1}= \int_{\mathbb R} f(x) \varphi_n(t) dt $$
 pour faire apparaître la différence entre $f$ et $f*\varphi_n$ comme une intégrale :
$$\begin{eqnarray*}f(x)-f*\varphi_n(x)&=& \int_{\mathbb R} (f(x)-f(x-t)) \varphi_n(t) dt
\end{eqnarray*}$$
Si on suppose $f$ continue alors on peut dire que pour $x$ fixé on a
$$\forall \varepsilon>0,~~\exists \delta>0,~~ \vert f(x)-f(x-t)\vert\leq \varepsilon/3, ~~\forall \vert t\vert\leq \delta $$
Les hypothèses sur $\varphi_n$ permettent alors d'obtenir facilement
$$\begin{eqnarray*}
\vert f(x)-f*\varphi_n(x)\vert
&\leq & \int_{\mathbb R } \vert f(x)-f(x-t)\vert \varphi_n(t) dt \\
&\leq & \int_{\vert t\vert \leq  \delta } \vert f(x)-f(x-t)\vert \varphi_n(t) dt
+\int_{\vert t\vert > \delta } \vert f(x)-f(x-t)\vert \varphi_n(t) dt \\
&\leq&
 \underbrace{\max_{\vert t\vert \leq  \delta} \vert f(x)-f(x-t)\vert}_{\leq \varepsilon/3}  \underbrace{\int_{\vert t\vert \leq  \delta } \varphi_n(t) dt}_{{\longrightarrow}_{n\to\infty}1}
+2\Vert f\Vert_\infty \underbrace{\int_{\vert t\vert > \delta }  \varphi_n(t) dt}_{{\longrightarrow}_{n\to\infty}0}
\end{eqnarray*}$$
donc en choisissant $n_0$ tel que $\int_{\vert t\vert \leq  \delta } \varphi_n(t) dt\leq 3/2$ et  $\int_{\vert t\vert > \delta }  \varphi_n(t) dt\leq \varepsilon/4\Vert f\Vert_\infty $ $\forall n\geq n_0$ on a bien que
$$\forall \varepsilon>0,~~\exists n_0>0,~~ \vert  f(x)-f*\varphi_n(x)\vert\leq \varepsilon, ~~\forall n\geq n_0 $$
L'exemple le plus pratique d'approximation de l'unité peut être obtenu par changement d'échelle d'une fonction positive d'intégrale unité :

Théorème Soit $\varphi\in {\mathbb L}^1({\mathbb R})$ telle que :
$$ \varphi(t)\geq 0~~\forall t\in {\mathbb R}~~et~~\int_{\mathbb R}\varphi(t)dt=1$$
Si on pose $\varphi_n(t)=n\varphi(nt)$   pour tout $n\in {\mathbb N}$ alors $(\varphi_n)$ est une approximation de l'unité

la preuve repose sur le changement de variables $s=nt$  qui change $n\,dt=ds$ donc :
 $$\int_{\mathbb R}\varphi_n(t)dt=\int_{\mathbb R}\varphi(nt)ndt=\int_{\mathbb R}\varphi(s)ds=1$$
et si on intègre sur un intervalle ne contenant pas 0 alors
$$\forall \delta>0,~~\int_{\vert t\vert>\delta}\varphi_n(t)dt=\int_{\vert s\vert>n\delta}\varphi(s)dt\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty} 0$$
(qui signifie juste que  $\int_{\mathbb R}\varphi(s)ds$ converge!) et inversement :
$$\forall \delta>0,~~\int_{\vert t\vert\leq \delta}\varphi_n(t)dt=1-\int_{\vert t\vert>\delta}\varphi_n(t)dt=1-\int_{\vert s\vert>n\delta}\varphi(s)dt\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty}1$$
on peut donc construire des approximation de l'unité avec des fonctions comme :

• fonction porte $\varphi(t)={1\over 2}{\bf 1}_{[-1,1]}(t)$
• fonction triangle $\varphi(t)=(1-\vert t\vert){\bf 1}_{[-1,1]}(t)$
• fonction Gaussienne $\varphi(t)={e^{-t^2/2}\over \sqrt{2\pi}}$  (celle de la figure au début de ce billet)
• ...

L'aspect du graphe de ces approximations de l'unité en fonction de n est souvent utilisé pour représenter la distribution de Dirac. Plus rigoureusement on peut dire qu'une approximation de l'unité converge vers la distribution de Dirac dans l'espace des distributions dans le sens suivant :

Théorème Soit $(\varphi_n)$ une approximation de l'unité, on définit une suite de distributions par
$$<T_n,f>=\varphi_n*f(x_0)~~~\forall f\in {\mathcal D}({\mathbb R})$$
  alors  $T_n\mathop{\longrightarrow}_{n\to\infty}\delta_{x_0}$  dans ${\mathcal D}'({\mathbb R})$.

Pour justifier le passage à la limite au sens des distributions il suffit juste de vérifier que $T_n$  est bien une suite de distributions, ce qui se fait facilement à l'aide des inégalités que j'ai déjà exposé dans un premier billet sur la convolution  :

$$\vert <T_n,f>\vert =\vert \varphi_n*f(x_0)\vert \leq \Vert f\Vert_\infty \times \Vert \varphi_n\Vert_1=\Vert f\Vert_\infty$$