Lors de mes études de mathématiques j'ai pris beaucoup de plaisir à étudier La topologie algébrique et la géométrie différentielle. Plusieurs choses m'attiraient dans ces deux domaines :
- l'étude de concepts issus de la géométrie plane ou spatiale mais généralisés de manière très abstraite à d'autres dimensions (groupe fondamental, homotopie, homéomorphisme, difféomorphisme)
- la résolution problèmes géométriques d’apparence simple mais difficile à se représenter (même en petite dimension) et aux résultats parfois contre-intuitifs (retournement de la sphère, théorème de la boule de billard chevelue)
- le tout se faisant sans "calcul" littéral ou numérique, en tout cas pas au sens de ce que j'avais appris à faire en algèbre ou en analyse jusque là !
Ce dernier point était un peu déroutant pour moi à l'époque, mais c'était certainement le point le plus important! Depuis la lecture cet été d'une biographie de Grigori Perelman (célèbre pour avoir démontré la conjecture de Poincaré) je redécouvre avec plaisir ces domaines et je m'amuse à les réexplorer avec l'aide de Scilab, exemple avec la surface de Boy :
en traçant cette surface en trois dimensions on peut essayer d'en comprendre la structure même lorsqu'on a pas l'esprit géométrique d'un Perelman ou d'un Louis Antoine .
La surface représenté dans la première animation est plutôt appelée Surface Romaine, mais du point de vue de la topologie algébrique ces deux surfaces ont les mêmes propriétés car on peut passer de l'une à l'autre par une déformation continue de
l'espace (ce qu'on appelle une homotopie). Cette homotopie peut s'obtenir en utilisant la paramétrisation de Morin-Apéry qui permet de décrire les coordonnées (x,y,z) des points de la surface de Boy en fonction de 2 paramètres (u,v) :
$$\begin{align*}
K&={\cos(u)\over \sqrt{2}-t\sin(2u)\cos(3v)}\\
x&=K(\cos(u)\cos(2v)+\sqrt{2}\sin(u)\cos(v))\\
y&=K(\cos(u)\sin(2v)-\sqrt{2}\sin(u)\sin(v))\\
z&=K\cos(u)\\
& 0\leq u\leq \pi ~~et~~ 0\leq v\leq \pi
\end{align*}$$
on obtient la surface de Boy pour $t=0$ et en faisant varier $t$ on arrive à la surface Romaine pour $t=1$, la différence entre les deux surfaces étant principalement l'apparition de points cuspidaux (à partir de $t=1/\sqrt({3}$) pour la surface Romaine :
Mais d'où cela vient-il ? En 1902, Werner Boy était un jeune élève du grand mathématicien David Hilbert. Un
jour il imagina que "plan projectif réel" puisse faire
l'objet d'une représentation dans l'espace à trois dimensions sous forme d'une
"immersion". Cela donna l'objet ci-dessus. Hilbert fut très intéressé
par cette découverte majeure. Il dit à son élève "on en reparlera après
l'été", puis il parti en vacances. À son retour il attendit vainement
le jeune Boy. Il avait résilié sa location chez sa logeuse et s'était...
volatilisé. Hilbert se mit vainement à sa recherche, en vain ( tout cela est tiré de l'excellent site de jean-pierre Petit). Il semble que Boy soit mort quelques années plus tard dans une tranchée du nord de la France, durant
les premières semaines de la Première Guerre mondiale.
Le plan projectif réel noté ${\mathbb P}_2({\mathbb R})$ est l'ensemble des droites de l'espace ${\mathbb R}^3$ passant par le point $(0,0,0)$. Pour se représenter géométriquement cet ensemble on part du fait que chaque droite passant par le point $(0,0,0)$ va couper la sphère de rayon 1 centrée en $(0,0,0)$ en deux points diamétralement opposés. L'ensemble ${\mathbb P}_2({\mathbb R})$ peut donc être représenté par la surface d'une demi-sphère (sphère coupée en deux suivant l'équateur d'équation z=0) où chaque point représente une droite ... sauf que les droites passant par l'équateur seraient représentées par 2 points qu'il faut donc identifier! On doit alors recoller 2 à 2 les points opposés du bord de la demi-sphère ... ce recollement est impossible à faire dans l'espace à 3 dimensions!! Il faut au moins 4 dimensions d'espace pour y arriver (c'est un bon exemple d'optimalité du théorème de Nash-Moser ) mais on peut essayer de regarder ce recollement dans ${\mathbb R}^3$ par perspective en acceptant que certaines parties de la surface se coupent entre elles (exactement comme lorsqu'on dessine un volume 3D sur une feuille en 2 dimension) :
C'est ce qui est fait dans cette animation qui repose sur la paramétrisation suivante de la surface de Romaine :
$$\begin{align*}
x&=r\cos(u)\cos(v)\sin(v)\\
y&=r\sin(u)\cos(v)\sin(v)\\
z&=r\cos(u)\sin(u)\cos(v)^2\\
& 0\leq u\leq \pi ~~et~~ 0\leq v\leq \pi
\end{align*}$$
qui est elle même obtenue en partant de la paramétrisation classique d'une demi-sphère , par la longitude et la latitude, en lui appliquant la transformation :
$$ f(x,y,z)=(yz,zx,xy)$$
On peut facilement voir que deux points opposés du bord $(x,y,0)$ et $(-x,-y,0)$ vont être envoyé sur le même point $(0,0,xy)=(0,0,(-x)(-y))$ de la droite verticale. Ensuite pour passer "continûment" de la demi-sphère à la surface de Romaine il suffit d'afficher l'image de la demi-spère par l'application :
$$ h(t,x,y,z)= (1-t)\times (x,y,z)+ t\times f(x,y,z)$$
en faisant varier t de 0 (demi-sphère) à 1 (surface de Boy).
Maintenant que vous arrivez à visualiser cette construction de la surface de Boy, sachez qu'on peut aussi la construire en recollant le bord de la demi-sphère (ou d'un disque) le long d'un ruban de Möbius (voir mon billet sur le ruban de Möbius et la bouteille de Klein). Là encore ce ruban de Möbius "caché" dans la surface de Boy est difficile à voir mais en partant de la paramétrisation précédente on peut se dire que le ruban de Möbius correspond aux points près de l'équateur de la sphère, donc en ne gardant que ces points on doit voir apparaître le fameux ruban :
l'animation ci-dessus est obtenue avec la paramétrisation de Morin-Apéry en affichant ou les points pour $ 0\leq v\leq \pi$ et $ a\leq u\leq \pi $ avec $a\to \pi$. C'est une manière de voir que tout lacet de l'espace projectif peut être déformé en un lacet du ruban de Möbius. Ces deux variétés ont donc le même groupe fondamental $\pi_1({\mathbb P}_2({\mathbb R}))={\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ .
Le plan projectif réel noté ${\mathbb P}_2({\mathbb R})$ est l'ensemble des droites de l'espace ${\mathbb R}^3$ passant par le point $(0,0,0)$. Pour se représenter géométriquement cet ensemble on part du fait que chaque droite passant par le point $(0,0,0)$ va couper la sphère de rayon 1 centrée en $(0,0,0)$ en deux points diamétralement opposés. L'ensemble ${\mathbb P}_2({\mathbb R})$ peut donc être représenté par la surface d'une demi-sphère (sphère coupée en deux suivant l'équateur d'équation z=0) où chaque point représente une droite ... sauf que les droites passant par l'équateur seraient représentées par 2 points qu'il faut donc identifier! On doit alors recoller 2 à 2 les points opposés du bord de la demi-sphère ... ce recollement est impossible à faire dans l'espace à 3 dimensions!! Il faut au moins 4 dimensions d'espace pour y arriver (c'est un bon exemple d'optimalité du théorème de Nash-Moser ) mais on peut essayer de regarder ce recollement dans ${\mathbb R}^3$ par perspective en acceptant que certaines parties de la surface se coupent entre elles (exactement comme lorsqu'on dessine un volume 3D sur une feuille en 2 dimension) :
C'est ce qui est fait dans cette animation qui repose sur la paramétrisation suivante de la surface de Romaine :
$$\begin{align*}
x&=r\cos(u)\cos(v)\sin(v)\\
y&=r\sin(u)\cos(v)\sin(v)\\
z&=r\cos(u)\sin(u)\cos(v)^2\\
& 0\leq u\leq \pi ~~et~~ 0\leq v\leq \pi
\end{align*}$$
qui est elle même obtenue en partant de la paramétrisation classique d'une demi-sphère , par la longitude et la latitude, en lui appliquant la transformation :
$$ f(x,y,z)=(yz,zx,xy)$$
On peut facilement voir que deux points opposés du bord $(x,y,0)$ et $(-x,-y,0)$ vont être envoyé sur le même point $(0,0,xy)=(0,0,(-x)(-y))$ de la droite verticale. Ensuite pour passer "continûment" de la demi-sphère à la surface de Romaine il suffit d'afficher l'image de la demi-spère par l'application :
$$ h(t,x,y,z)= (1-t)\times (x,y,z)+ t\times f(x,y,z)$$
en faisant varier t de 0 (demi-sphère) à 1 (surface de Boy).
Maintenant que vous arrivez à visualiser cette construction de la surface de Boy, sachez qu'on peut aussi la construire en recollant le bord de la demi-sphère (ou d'un disque) le long d'un ruban de Möbius (voir mon billet sur le ruban de Möbius et la bouteille de Klein). Là encore ce ruban de Möbius "caché" dans la surface de Boy est difficile à voir mais en partant de la paramétrisation précédente on peut se dire que le ruban de Möbius correspond aux points près de l'équateur de la sphère, donc en ne gardant que ces points on doit voir apparaître le fameux ruban :
l'animation ci-dessus est obtenue avec la paramétrisation de Morin-Apéry en affichant ou les points pour $ 0\leq v\leq \pi$ et $ a\leq u\leq \pi $ avec $a\to \pi$. C'est une manière de voir que tout lacet de l'espace projectif peut être déformé en un lacet du ruban de Möbius. Ces deux variétés ont donc le même groupe fondamental $\pi_1({\mathbb P}_2({\mathbb R}))={\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ .
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Pour écrire des formules mathématiques vous pouvez utiliser la syntaxe latex en mettant vos formules entre des "dollars" $ \$....\$ $ par exemple :
- $\sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}={\pi^2\over 6}$ s'obtient avec \sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}={\pi^2\over 6}
- $\mathbb R$ s'obtient avec {\mathbb R} et $\mathcal D$ s'obtient avec {\mathcal D}
- pour les crochets $\langle .,. \rangle$ dans les commentaires utilisez \langle .,. \rangle
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