rotationnel et symbole de Levi-Civita

Je travaille actuellement un nouveau cours de calcul différentiel destiné à de futurs ingénieurs en optronique, l'occasion de me replonger dans de vielles formules, liées aux cours d'électro-magnétisme, à base de Grad, div, rot, et autres $\Delta$ comme :

$${\bf rot\ }({\bf rot\ }A)={\bf Grad\ }({\rm div\ } A) -\Delta A$$

Ces formules  ne sont pas toujours faciles à retrouver  sauf si on sait se servir du symbole de Levi-Civita ! Contrairement au symbole de Kronecker ,le symbole de Levi-Civita  est rarement introduit dans les cours de mathématiques (même en tant que notation). Il apparaît plutôt dans les cours de physique qui abordent la relativité générale, noyé dans les astuces calculatoires des notations d'Einstein. C'est pour cette raison que je ne m'y suis jamais vraiment intéressé lors de mes études ...

Définition du symbole de Levi-Civita

La définition généralement donnée du symbole de Levi-Civita $\epsilon_{i_1i_2\dots i_n}$  est qu'il s'agit d'un "pseudo-tenseur  complètement antisymétrique d'ordre N".   Pour un étudiant en mathématique ça paraît obscur mais c’est juste une manière de dire que  $\epsilon_{i_1i_2\dots i_n}$ est la signature de la permutation $\sigma : 12\dots n\to i_1i_2\dots i_n$ . On en déduit facilement les formules :

$$\epsilon_{i_1\dots i_l\dots i_p\dots i_n}=\left\{
\begin{array}{ccl}
0&si& \exists l\neq p\in\{1;2;\dots;n\},~~i_l=i_p\\
 1&si& \{i_1;\dots i_l;\dots ;i_p;\dots; i_n\}=\{1;2;\dots ;n\}\\
- \epsilon_{i_1\dots i_p\dots i_l\dots i_n}&si& \text{on échange $i_p$ et $i_l$}
\end{array}\right.$$
Par exemple :

• pour $n=2$  on a $2^2=4$  composantes qui valent :$$\epsilon_{11}=\epsilon_{22}=0,~~\epsilon_{12}=1,~~\epsilon_{21}=-1$$
• pour $n=3$  il y a $3^3=27$ composantes mais seulement $3!=6$  (=les 6 manières d'ordonner (1,2,3)) sont non nulles : $$\epsilon_{123}=\epsilon_{231}=\epsilon_{312}=1,~~  \epsilon_{132}=\epsilon_{213}=\epsilon_{321}=-1$$

 Le symbole de Levi-Civita  intervient donc naturellement dans la formule du déterminant :
$$ {\rm det\ }(M)={\rm det\ }\begin{pmatrix}m_{11}&\dots&m_{1n}\\
\vdots& &\vdots\\m_{n1}&\dots&m_{nn}
\end{pmatrix}=\sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{i_1i_2\dots i_n} m_{1i_1}\times\dots\times m_{ni_n}$$

Étudiant, comme beaucoup, j'ai rencontré cette formule  dans un cours d'algèbre linéaire (en parlant de signature  et pas de symbole de Levi-Civita) tout en précisant bien que cette formule n'était pas utilisable en pratique. C'est certainement pourquoi je n'y ai plus prêté attention par la suite.

Le cas $n=3$

Dans la suite on munit ${\mathbb R}^3$ de sa structure d'espace vectorielle avec sa base canonique ${\mathcal B}=\{{\bf e}_1;{\bf e}_2;{\bf e}_3\} $. Dans ce contexte on peut réécrire les formules de calcul :

• du déterminant 3x3 $\displaystyle {\rm det\ }(u,v,w)=\sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} u_iv_jw_k$  (où $u=\sum_{i=1}^3u_i {\bf e}_i$ ,...)
• du produit vectoriel de deux vecteurs A et B $\displaystyle A\wedge B=\sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} A_j B_k {\bf e}_i$
• du rotationnel d'une fonction $A:{\mathbb R}^3\rightarrow {\mathbb R}^3$ : $\displaystyle{\bf rot\ } A=\nabla\wedge A=\sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{ijk}\partial_j A_k {\bf e}_i$

Pour bien comprendre le coté pratique du symbole de Levi-Civita  on va démontrer le théorème suivant :

Théorème Soit  $A:{\mathbb R}^3\rightarrow {\mathbb R}^3$ de classe $C^2$ alors  $\displaystyle {\bf rot\ }({\bf rot\ }A)={\bf Grad\ }({\rm div\ } A) -\Delta A$

 Pour commencer on applique 2 fois la définition du rotationnel :
$$
\begin{align*}
{\bf rot\ }({\bf rot\ }A)
&=\sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{ijk}\partial_j ({\bf rot\ }A)_k {\bf e}_i\\
&=\sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{ijk}\partial_j \underbrace{\left(\sum_{l,p=1}^3 \epsilon_{klp}\partial_l A_p\right)}_{=({\bf rot\ }A)_k} {\bf e}_i \\
&=\sum_{i,j,k,l,p=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{klp} \partial_j \partial_l A_p {\bf e}_i 
\end{align*}
$$
La somme sur $k,l,p$  contient apriori $3^3=27$ termes mais  en fait dans cette somme très peu de termes sont non nul puisqu'il faut que $\{i;j;k\}=\{l;p;k\}=\{1;2;3\}$. Donc pour $i,j$ fixés, au plus un seul $k$ donnera  $\epsilon_{ijk}\neq 0$ et on aura alors  seulement 2 termes non-nuls  :
$$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{klp}=\epsilon_{ijk}\epsilon_{lpk}
= \left\{
\begin{array}{rcl}
1&si&i=l~~et~~j=p\\
-1&si& i=p~~et~~j=l\\
0 &sinon &
\end{array}\right.$$
On réduit donc très facilement la somme  sur $k,l,p$   et il ne reste qu'à sommer sur $i,j$ :
$$
\begin{align*}
{\bf rot\ }({\bf rot\ }A)
&=\sum_{i,j,k,l,p=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{klp} \partial_j \partial_l A_p {\bf e}_i  \\
&=\sum_{i,j=1}^3 \left(\partial_j \partial_i A_j-\partial_j \partial_j A_i\right) {\bf e}_i  \\
&=\sum_{i=1}^3 \left(\partial_i {\rm div\ } A-\Delta A_i\right) {\bf e}_i  \\
&={\bf Grad\ }({\rm div\ } A) -\Delta A
\end{align*}
$$
Normalement quand $i=j$  on a $\epsilon_{ijk}=0$  et on ne devrait pas trouver les termes correspondants dans la somme, mais comme ces termes sont $\partial_i \partial_i A_i-\partial_i \partial_i A_i=0$ s'annulent 2 à 2 , on peut les ajouter ça ne change rien à la somme!

Si on remarque que $\Delta={\rm div\ }({\bf Grad\ })$ le double rotationnel  est donc une sorte de "commutateur" entre les opérateurs ${\rm div\ }$ et ${\bf Grad\ }$. De la même manière vous pouvez démontrer les formules suivantes :

Théorème Soit  $A,B:{\mathbb R}^3\rightarrow {\mathbb R}^3$ de classe $C^2$ alors $${\bf rot\ }(A\wedge B)=(B\cdot {\bf Grad\ })( A) -(A\cdot {\bf Grad\ })(B)~~et~~{\rm div \ }(A\wedge B)={\bf rot\ }(A)\cdot B -{\bf rot\ }(B)\cdot A$$

ici j'ai noté "." le produit scalaire  de ${\mathbb R}^3$   et $(A\cdot {\bf Grad\ })$ est l'opérateur différentiel :
$$(A\cdot {\bf Grad\ })(f)=\sum_{j=1}^3A_j\partial_j f$$
qui s'applique aussi bien à des champs scalaires $f$  qu'à des champs vectoriels (on l'applique composante par composante).