Déjà trois ans depuis l'ouverture de ce blog et voici enfin le centième billet !! Les lecteurs réguliers (merci à eux) auront remarqué que mon rythme de publication s'est bien ralenti depuis que j'ai intégré une école d'ingénieur à la dernière rentrée. Mais j'ai la chance cette année de prendre en charge de nouveaux cours très intéressants , dont en particulier un cours d'analyse de Fourier avec un CM complet sur la théorie des distributions :-) Ce billet anniversaire est donc une bonne occasion de revenir sur une question évoquée dans l'un des tout premiers billet publié sur ce blog:
Théorème Soit $T\in {\cal D}'$ une distribution telle que $T'=0$ alors $ T=C^\text{ste}$
Puisque la dérivée usuelle d'une constante est nulle , au sens des distributions on a bien $C'=0$. L'objectif ici est donc de montrer la réciproque . La stratégie est la même que celle utilisée pour montrer que $xT=0\Rightarrow T=\delta$ :
- à partir de $\phi$ construire une fonction test spéciale $\psi$
- appliquer T à $\psi$, ou plutôt $<T',\psi>=0$, pour obtenir
$$<T,\phi> =C\int_{\mathbb R} \phi(x) dx~~~~(1)$$
$$<T,\phi> -C\int_{\mathbb R} \phi(x) dx= 0 =-<T',\varphi>=<T,\varphi'>~~~~(2)$$
donc on va chercher $\psi=\varphi'=\phi +\int_{\mathbb R} \phi(x) dx \chi $ qui soit bien une fonction test et vérifie $<T,\psi>=0$. On commence par regarder quand une primitive de fonction test peut être une fonction test :
Lemme 1 $ \forall \varphi\in {\mathcal D},~~\psi(x)=\int_{-\infty}^x\varphi(x)dx$ alors $\psi \in {\mathcal D}\Leftrightarrow \int_{\mathbb R} \varphi(x) dx=0$
Si $\phi \in {\mathcal D}$ avec ${\rm supp}(\phi)\subset[-M,M]$ alors
$$ \forall x>M ,~~\psi(x)=\int_{-\infty}^x\varphi(x)dx=C^\text{ste}=\int_{\mathbb R} \varphi(x) dx=0$$
Ensuite on regarde à quelle condition $<T,\varphi>=0$
Lemme 2 si $T'=0$ alors $<T,\varphi>=0$ pour tout $\varphi\in{\cal D}$ telle que $ \int_{\mathbb R} \varphi(x) dx=0$
Pour le montrer on applique $T$ à la fonction test $\psi$ construite dans le lemme1, comme $\psi'=\phi$ on a
$$ <T,\varphi>=<T,\psi'>=-<T',\psi>=-<0,\psi>=0$$
Il reste à choisir la fonction $\chi$ dans la définition (2) de $\psi$ pour qu'elle soit d'intégrale nulle :
Lemme 3 Si on choisit une fonction test $ \chi\in {\mathcal D}$ telle que $\int_{\mathbb R} \chi(x) dx=1$ et qu'on pose
$\displaystyle \forall \phi\in {\mathcal D},~\psi(x)=\phi(x)-\left(\int_{\mathbb R} \phi(t) dt\right)\chi(x) $ alors $\psi\in {\cal D}$ et $\int_{\mathbb R} \psi(x) dx=0$
$\displaystyle \forall \phi\in {\mathcal D},~\psi(x)=\phi(x)-\left(\int_{\mathbb R} \phi(t) dt\right)\chi(x) $ alors $\psi\in {\cal D}$ et $\int_{\mathbb R} \psi(x) dx=0$
Pour $\phi\in{\cal D}$ on pose ${\gamma}=\int_{\mathbb R} \phi(t) dt$ et $\psi(x)=\phi(x)-\gamma\chi(x) $ en intégrant $\psi$ on trouve bien 0 :
$$\begin{align*}
\int_{\mathbb R}\psi(x) dx&= \int_{\mathbb R} \phi(x)-{\gamma}\chi(x) dx
&\text{définition de }\psi \\
&= \int_{\mathbb R} \phi(x) dx-\left(\int_{\mathbb R} \phi(t) dt\right) \int_{\mathbb R}\chi(x) dx
&\text{linéarité de } \int\\
&=\gamma-\gamma\times1=0
\end{align*}$$
On peut maintenant démontrer le théorème en appliquant $T$ au $\psi$ construit dans le lemme3 :
$$\begin{align*}
0& =<T,\psi>=\left\langle T,\phi(x)-\gamma\chi(x)\right\rangle
&\text{définition de }\psi \\
&=\left\langle T,\phi(x)\right\rangle-\gamma\underbrace{\left\langle T, \chi(x)\right\rangle}_{=C}
&\text{linéarité de }<.,\bullet> \\
& =<T,\phi(x)>-C\int_{\mathbb R} \phi(x) dx & \text{car } {\gamma}=\int_{\mathbb R} \phi(t) dt\\
\end{align*}$$
Conclusion $\displaystyle <T, \phi>=\int_{\mathbb R} C\phi(x) dx=<C,\phi>$ où $C=<T,\chi>$ ne dépend pas de $\phi$ et est donc bien une constante.
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- $\sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}={\pi^2\over 6}$ s'obtient avec \sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}={\pi^2\over 6}
- $\mathbb R$ s'obtient avec {\mathbb R} et $\mathcal D$ s'obtient avec {\mathcal D}
- pour les crochets $\langle .,. \rangle$ dans les commentaires utilisez \langle .,. \rangle
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