différence entre limite et limite épointée

Il n'a jamais été facile d'enseigner les définitions mathématiques de limite et de continuité, pour comprendre ces définitions  il est nécessaire de visualiser géométriquement le passage à la limite caché derrière cette  définition apparemment «statique» :$$\lim_{x\to x_0}f(x)=l\Leftrightarrow\left[\forall\varepsilon>0,~~\exists\eta>0,~~\vert x-x_0\vert<\eta\Rightarrow\vert f(x)-l\vert <\varepsilon\right]~~(1)$$

illustration de la définition de limite

Mais même quand on travaille depuis longtemps avec cette définition elle peut encore réserver des surprises! Par exemple  j'ai rencontré  dernièrement dans certains textes  une définition de limite légèrement différente, qui porte en fait le nom de limite épointée

$$\lim_{x\to x_0,x\neq x_0}f(x)=l\Leftrightarrow\left[\forall\varepsilon>0,~~\exists\eta>0,~~{\color{red}{0<}}\vert x-x_0\vert<\eta\Rightarrow\vert f(x)-l\vert <\varepsilon\right] ~~~~(2)$$
Malgré les apparences ces deux définitions  ne sont pas  équivalentes et on peut se demander pourquoi il  serait plus naturel  de privilégier la première (celle sans le "0<") sur la deuxième .


Pour comparer les deux dédinitions il faut d'abord remarquer  que l'existence d'une limite implique l'existence d'une limite épointé:
 $$\lim_{x\to x_0}f(x)=l\Longrightarrow \lim_{x\to x_0,x\neq x_0}f(x)=l$$
c'est assez facile à voir puisque les $x$ vérifiant $0<\vert x-x_0\vert<\eta$ sont déjà contenus dans ceux vérifiant $\vert x-x_0\vert<\eta$ donc :
$$ \left[\vert x-x_0\vert<\eta\Rightarrow\vert f(x)-l\vert <\varepsilon\right] \Rightarrow \left[0<\vert x-x_0\vert<\eta \Rightarrow\vert f(x)-l\vert <\varepsilon\right] $$
Par-contre la réciproque est fausse :
$$\lim_{x\to x_0,x\neq x_0}f(x)=l \not\Longrightarrow   \lim_{x\to x_0}f(x)=l$$
On peut trouver un contre-exemple à l'aide d'une fonction discontinue  comme  $f(x)={\bf 1}_{\{0\}}(x)$, la fonction caractéristique de l'ensemble $\{0\}$,   dans ce cas

• $\lim_{x\to 0,x\neq 0}f(x)=0$ puisque $f(x)=0$ pour tout $x\neq 0$
•  mais $\not\exists\lim_{x\to 0}f(x)$  puisque$$\forall \varepsilon\in]0;1[,\exists x=0,~~\forall \eta>0~~ \vert x-0\vert <\eta\text{  mais  } \vert f(x)-0\vert =1>\varepsilon $$

On pourrait en déduire que la notion de limite épointée est donc plus intéressante que celle de limite tout court (elle est valable dans plus de cas) mais la limite épointé  se comporte assez mal du point de vue de la composition des fonctions. En effet la définition de limite (1)  vérifie le théorème suivant :

Théorème de composition des limites
Si il existe $ \lim_{x\to x_0}g(x)=y_0$ et $\lim_{y\to y_0}f(y)$ alors $ \lim_{x\to x_0}f(g(x))= \lim_{y\to y_0}f(y)$

Pour le démontrer on part des  définitions de limites pour f et g :
$$\lim_{x\to x_0}g(x)=y_0\Leftrightarrow\left[\forall\delta>0,~~\exists\eta>0,~~\vert x-x_0\vert<\eta\Rightarrow\vert g(x)-y_0\vert <\delta\right]$$
et
$$\lim_{y\to y_0}f(y)=l\Leftrightarrow\left[\forall\varepsilon>0,~~\exists\zeta>0,~~\vert y-y_0\vert<\zeta\Rightarrow\vert f(y)-l\vert <\varepsilon\right]$$
puis on les  combine comme suit :

• on prend un $\varepsilon >0$ d'où l'on déduit un $\zeta>0$ tel que $\vert y-y _0\vert<\zeta\Rightarrow\vert f(y)-l\vert <\varepsilon$
• puisque on détermine le $\eta>0$ qui correspond au seuil $\delta=\zeta$ tel que  $\vert x-x_0\vert<\eta\Rightarrow\vert g(x)-y_0\vert <\zeta$
• au final on a bien  $\vert x-x_0\vert<\eta\Rightarrow\vert g(x)-y_0\vert <\zeta=\delta \Rightarrow\vert f(g(x))-l\vert <\varepsilon$

Hélas cette démonstration  n'est plus possible si on remplace la définition de limite (1) par celle de limite épointée!  On peut encore donner un contre-exemple en reprenant  $f(x)={\bf 1}_{\{0\}}(x)$  et $g(x)=0$ puisque alors  on a
$$  \lim_{x\to 0,x\neq 0}g(x)=0 ~~\text{  et  }\lim_{y\to 0,y\neq 0}f(y)=0 \text{  mais  }\lim_{x\to 0,x\neq 0}f(g(x))=1\neq 0$$
car $f(g(x))={\bf 1}_{\{0\}}(0)=1$  pour tout $x$ .