jeudi 23 juin 2016

la bouteille de Klein


Cela faisait un moment que je cherchais les bonnes formules pour dessiner la représentation usuelle d'une bouteille de Klein  obtenue par recollement non-trivial des  bords d'un cylindre . J'ai fini par y arriver (non sans mal) mais les formules utilisées  gardent encore une part de mystère :



 J'avais déjà par le passé  réalisé quelques animations sur la bouteille de Klein mais avec une autre représentation qui correspond  au recollement  d'un ruban de Möbius le long de son bord . Mais pour dessiner cette  bouteille de Klein j'ai utilisé d'autres équations un peu plus compliquées trouvées sur l'excellent site Mathcurve :

$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\begin{array}{l}
0\leq u\leq \pi\\
0\leq v\leq 2\pi\\
\end{array}
&
\begin{array}{l}
\pi\leq u\leq 2\pi\\
0\leq v\leq 2\pi\\
\end{array}\\
\hline\hline
\begin{array}{rcl}
r&=&4(1-\cos(u)/2)\\
x&=&6\cos(u)(1+\sin(u))+r\times \cos(v)\cos(u)\\
y&=&16\sin(u)+r\times \cos(v)\sin(u)\\
z&=&r\sin(v)
\end{array}
&
\begin{array}{rcl}
r&=&4(1-\cos(u)/2)\\
x&=&6\cos(u)(1+\sin(u))-r\times \cos(v)\\
y&=&16\sin(u)\\
z&=&r\sin(v)
\end{array}\\
\hline
\end{array}
 $$


la bouteille de Klein doit s'obtenir en traçant la surface paramétrique des points données par la fonction [x,y,z]=f(u,v) où u et v décrivent l'intervalle $[0,2\pi]$. on peut interpréter ces formules comme une déformation de celles qui décrivent un tore  :




  •  u décrit la position sur l'axe "central"  de la bouteille de Klein  ($\theta$ dans le cas du tore)
  • v décrit la position des points sur le cercle qui entoure l'axe central ($\varphi$ dans le cas du tore)
  •  r dépend de u pour faire varier  le "diamètre" du pseudo-cylindre
  •  on a un changement de formule de x et y quand $u=\pi$ pour recoller les deux bouts du cylindre de manière non triviale (contrairement au cas du tore)
au départ je pensais tracer directement la surface avec scilab  pour obtenir la bouteille de Klein mais j'ai alors obtenu la figure suivante :



le résultat de droite semble très proche de la bouteille de Klein, mais il est un  peu différent car la surface possède deux ensemble d'auto-intersections disjoints!!  Ça se voit mieux en "ouvrant" la bouteille de Klein (en traçant seulement pour v dans l'intervalle $[0,\pi]$ figure de gauche) on voit bien alors une auto-intersection "cachée" à l'intérieur de la bouteille !?!?   Pour éviter ce problème, au lieu de tracer la surface paramétrique [x, y, z] = f (u, v) en une seule fois (pour u et v dans $[0,2\pi]$ ) j'ai tracé une série d'anneaux correspondant à:
$$0 \leq v \leq 2\pi\text{ et } {2\pi k \over 20} \leq u \leq {2\pi (k+1) \over 20} \text{ pour } k=0,\dots,19$$

et la miracle la seconde auto-intersection à disparue !!! Je ne comprends toujours pas clairement pourquoi, peut être qu'un de vous aura une idée à ce sujet ...
En tout cas cette représentation m'a permis  de construire cette autre animation (assez classique) qui montre où se trouve le ruban de Möbius dans la bouteille de Klein (en faisant varier   l'intervalle pour v   de $[0,2\pi]$ à $[0,\pi]$)


    

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Pour écrire des formules mathématiques vous pouvez utiliser la syntaxe latex en mettant vos formules entre des "dollars" $ \$....\$ $ par exemple :
- $\sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}={\pi^2\over 6}$ s'obtient avec \sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}={\pi^2\over 6}
- $\mathbb R$ s'obtient avec {\mathbb R} et $\mathcal D$ s'obtient avec {\mathcal D}
- pour les crochets $\langle .,. \rangle$ dans les commentaires utilisez \langle .,. \rangle
vous pouvez écrire du html dans les commentaires :
- italique <i> ... </i> gras <b> ... </b>
- lien <a href="http://adresse "> .... </a>